Căn thức (căn bậc 2, căn bậc 3) là nội dung kỹ năng mà các em học tập ở ngay lập tức chương 1 đại số lớp 9, phần bài tập về căn thức cũng thường xuyên xuất hiện thêm trong đề thi tuyển chọn sinh vào lớp 10 THPT.

Bạn đang xem: Cách giải phương trình chứa căn


Có các dạng bài bác tập về căn thức như: rút gọn biểu thức, tính cực hiếm của biểu thức, giải phương trình, hệ phương trình,... Mặc dù nhiên, trong bài viết này chúng ta tập trung khám phá cách giải phương trình cất dấu căn, qua đó áp dụng giải một số trong những bài tập về phương trình cất căn thức nhằm rèn luyện kĩ năng giải toán.


» Đừng bỏ lỡ: Cách giải phương trình cất ẩn ở chủng loại cực hay

I. Kiến thức và kỹ năng cần nhớ khi giải phương trình đựng dấu căn

• 

*

• 

*

• 

*

• 

*

• 

*
 với e ≥ 0 là hằng số

i) ngôi trường hợp: 

*
 hoặc 
*
 thì:

+ bước 1: Tìm đk của x để f(x) ≥ 0

+ bước 2: Bình phương 2 vế phương trình nhằm khử căn.

+ bước 3: Giải phương trình nhằm tìm nghiệm x thỏa mãn nhu cầu điều kiện

* lấy ví dụ 1 (Bài 25 trang 16 SGK Toán 9 Tập 1): Tìm x?

a) b) 

c) d)

° Lời giải:

a) (*)

- Điều kiện: x ≥ 0, lúc đó bình phương 2 vế ta có:

 

*

- Ta thấy x = 4 thỏa điều kiện nên pt có nghiệm x = 4.

b)  (*)

- Điều kiện: x ≥ 0, lúc ấy bình phương 2 vế ta có:

 

*

- Ta thấy x = 5/4 thỏa điều kiện nên pt tất cả nghiệm x = 5/4.

c) (*)

- Điều kiện: x - 1 ≥ 0 ⇔ x ≥ 1; khi ấy ta bao gồm (ở bày này ta hoàn toàn có thể rút gọn hệ số trước khi bình phương 2 vế):

 

*

 

*
 
*

- Ta thấy x = 50 thỏa đk nên pt tất cả nghiệm x = 50.

d) (*)

- vì chưng (1 - x)2 ≥ 0 ∀x phải pt xác định với hầu như giá trị của x.

 

*

*

→ Vậy phương trình có 2 nghiệm x = -2 hoặc x = 4

* ví dụ 2: Giải các phương trình sau:

a)  b) 

*

° Lời giải:

a)  (*)

- Điều kiện: 

*

- lúc đó bình phương 2 vế ta được:

*
 
*

- Đối chiếu đk (x ≥ 3/2) ta thấy x = một nửa không thỏa điều kiện này, cần ta KHÔNG thừa nhận nghiệm này. Tóm lại pt vô nghiệm.

ii) ngôi trường hợp:  (*) thì ta đề xuất kiểm tra biểu thức f(x).

+) ví như f(x) = ax2 + bx + c = (Ax ± B)2 tức là có dạng hằng đẳng thức thì KHAI CĂN, tức là:

 

*
*

+) Nếu  không tất cả dạng hằng đẳng thức thì ta thực hiện công việc sau:

- bước 1: Điều kiện f(x) ≥ 0

- bước 2: Bình phương 2 vế phương trình để khử căn thức

- cách 3: Giải phương trình bậc 2 (bằng phương pháp phân tích thành nhân tử đưa về pt tích).

* lấy ví dụ như 1: Giải phương trình sau:

*
 (*)

° Lời giải:

- Vì: 2x2 - 8x + 8 = 2(x2 - 4x + 4) = 2(x - 2)2 buộc phải ta có:

 

*

 

*
 
*

* ví dụ 2: Giải phương trình sau: 

*
 (*)

° Lời giải:

- Ta thấy: x2 - 4x + 6 = x2 - 4x + 4 + 2 = (x - 2)2 + 2 không tồn tại dạng (Ax ± B)2 nên ta tiến hành như sau:

- Điều kiện: x2 - 4x + 6 ≥ 0 ⇔ (x - 2)2 + 2 ≥ 0 ∀x bắt buộc biểu thức xác định với những giá trị của x.

- Bình phương 2 vế phương trình ta được:

(x - 2)2 + 2 = 11 ⇔ (x - 2)2 = 9 

*

- Kết luận: Phương trình gồm 2 nghiệm x = -1 với x = 5.

2. Giải phương trình chứa dấu căn dạng: 

*

* phương pháp giải:

- bước 1: Viết điều kiện của phương trình: 

*

- bước 2: dìm dạng từng loại khớp ứng với những cách giải sau:

 ¤ các loại 1: giả dụ f(x) bao gồm dạng hằng đẳng thức (Ax ± B)2 thì khai căn mang về phương trình trị tuyệt đối hoàn hảo để giải.

 ¤ nhiều loại 2: nếu f(x) = Ax ± B và g(x) = Ex ± D thì sử dụng phương pháp bình phương 2 vế.

 ¤ một số loại 3: trường hợp f(x) = Ax2 + Bx + C với g(x) = Ex ± D thì dùng phương pháp bình phương 2 vế.

 ¤ các loại 4: nếu như f(x) = Ax2 + Bx + C với g(x) = Ex2 + Dx + F thì thử phân tích f(x) với g(x) thành nhân tử, nếu như chúng bác ái tử phổ biến thì để nhân tử chung đưa về phương trình tích.

- cách 3: khám nghiệm nghiệm tìm được có thỏa mãn nhu cầu điều kiện không kế tiếp kết luận nghiệm của phương trình.

* ví dụ 1: Giải phương trình sau:

° Lời giải:

- Ta có:  

 

*

 

*

- Vậy phương trình vô nghiệm

* ví dụ 2: Giải phương trình sau:  (*)

° Lời giải:

- Ta có: 

 

*

- Vậy phương trình tất cả vô số nghiệm x ≤ 3.

* ví dụ như 3: Giải phương trình sau:

*
 

° Lời giải:

- Điều kiện: 

*

- Bình phương 2 vế ta được:

 2x - 3 = (x - 1)2 ⇔ 2x - 3 = x2 - 2x + 1

 ⇔ x2 - 4x + 4 = 0 ⇔ (x - 2)2 = 0 ⇔ x = 2.

Xem thêm: Sự Khác Biệt Giữa Tin Nhắn Tức Thời Là Gì ? Nhắn Tin Tức Thời

- Đối chiếu với đk ta thấy x = 2 thỏa điều kiện nên phương trình dấn nghiệm này.

- Phương trình tất cả nghiệm x = 2.

* ví dụ 4: Giải phương trình sau:

*
 (*)

° Lời giải:

- Ta thấy: f(x) = x2 - 5x - 6 không tồn tại dạng hằng đẳng thức (Ax ± B)2 (và vế buộc phải là dạng hàm bậc 1) bắt buộc để khử căn ta dùng cách thức bình phương 2 vế.

- Điều kiện: 

*
 khi đó ta bình phương 2 vế được:

*

*

- soát sổ x = -10 có vừa lòng điều khiếu nại không bằng phương pháp thay cực hiếm này vào những biểu thức điều kiện thấy ko thỏa

→ Vậy phương trình vô nghiệm.

3. Giải phương trình chứa dấu căn dạng: 

*
 

* Để giải phương trình dạng này ta thực hiện các bước sau:

- bước 1: Nếu f(x) và h(x) bao gồm chứa căn thì đề nghị có đk biểu thức vào căn ≥ 0.

- bước 2: Khử căn thức chuyển phương trình về dạng pt trị hay đối: |f(x)| ± |h(x)| = g(x).

- bước 3: Xét vệt trị hoàn hảo (khử trị xuất xắc đối) để giải phương trình.

* ví dụ như 1: Giải phương trình: 

*
 (*)

° Lời giải:

- Điều kiện: x ≥ 0.

- phương diện khác, ta thấy: 

*
 và 
*
 nên ta có:

 

*
 (**)

- Ta xét những trường hợp nhằm phá vệt trị tuyệt đối:

+) TH1: Nếu 

*
, ta có:

 

*

⇒ Phương trình bao gồm vô số nghiệm x ≥ 9.

+) TH2: Nếu

*

° Lời giải:

- Điều kiện: x ≥ 1

- nhận thấy: 

*

*

- Đến đây xét những trường vừa lòng giải tương tự ví dụ 1 làm việc trên.

4. Cách giải một trong những phương trình cất căn khác.

i) phương pháp đặt ẩn phụ để giải phương trình cất dấu căn.

* lấy một ví dụ 1: Giải phương trình sau: 

*
 (*)

° Lời giải:

- Điều kiện: x ≥ 0

 Đặt

*
 khi kia ta tất cả pt (*) trở thành:

 

*

- cả 2 nghiệm t phần nhiều thỏa điều kiện nên ta có:

 

*

 

*

(Cách giải pt bậc 2 một ẩn các em vẫn học sinh sống nội dung bài xích chương sau).

* ví dụ như 2: Giải phương trình sau: 

*
 (*)

° Lời giải:

- Điều kiện: 

*

 Đặt 

*
, khi ấy pt(*) trở thành:

 

*

- Ta thấy pt(**) tất cả dạng ngơi nghỉ mục 2) nhiều loại 3; với đk 5 - t ≥ 0 ⇔ t ≤ 5; ta bình phương 2 vế (**) được:

 t2 + 5 = (5 - t)2 ⇔ t2 + 5 = t2 - 10t + 25 ⇔ 10t = 20 ⇔ t= 2

- với t = 2 thỏa đk 0≤ t ≤ 5 buộc phải ta có:

*

→ Phương trình bao gồm nghiệm x = 6.

* lấy một ví dụ 3: Giải phương trình sau:

*
 (*)

° Lời giải:

- Điều kiện: x2 - 2x - 3 ≥ 0. Khi ấy ta có:

*

 Đặt 

*
 khi kia pt(**) trở thành:

 

*

- Đối chiếu điều kiện thì t = -5 nhiều loại và t = 2 nhận.

 Với t = 2 ⇒ x2 - 2x - 3 = 4 ⇔ x2 - 2x - 7 = 0 ⇔ (x2 - 2x + 1) - 8 = 0.

 

*

- chất vấn thấy 2 nghiệm x trên thỏa đk nên pt tất cả 2 nghiệm. X = 1 ± 2√2.

ii) phương thức đánh giá bán biểu thức dưới vết căn (lớn hơn hoặc nhỏ hơn 1 hằng số) để giải phương trình đựng căn thức.

- Áp dụng với phương trình chứa căn thức dạng: 

*
 (với c,d>0 cùng c+d=e)

- PT có thể cho ngay dạng này hoặc tất cả thể bóc một hệ số nào đó để sở hữu 2; 2 hay 2;