1/ FEM là gì ?4/ đàm đạo khoa học4.3/ cách làm yếu 4.3/ Sự rời rộc rạc hóa5/ các loại phương pháp phần tử hữu hạn

1/ FEM là gì ?

Phương pháp bộ phận hữu hạn (FEM), là một phương pháp số sát đúng nhằm giải các bài toán về kỹ thuật cùng vật lí toán học.Các vấn đề được quan tiền tâm bao hàm phân tích kếtcấu, truyền nhiệt, lưu chất, truyền khối với điện thế.

Bạn đang xem: Phương pháp phần tử hữu hạn

*

Phương pháp giải tích cho câu hỏi thường đòi hỏi phương án cho việc giá trị biên cho phương trình vi phân từng phần. Phương thức bộ phận hữu hạn xây dựng hiệu quả bài toán trong một hệ phương trình đại số. Cách tiến hành này chuyển ra những giá trị ngay gần đúng của những ẩn tại một số bộ phận rời rộc rạc trên miền xác định.<1> Để giải bài xích toán, chia nhỏ dại nó thành những miền nhỏ (phần tử), đơn giản và dễ dàng hơn được gọi là các thành phần hữu hạn. Các phương trình đơn giản và dễ dàng mô hình hóa các thành phần hữu hạn này kế tiếp được tập phù hợp thành một hệ phương trình to hơn mô hình hóa toàn cục vấn đề.Sau đó, FEM sử dụng những phương pháp biến hóa từ phép tính các biến thể để giải hệ phương trình này sẽ tìm kiếm được các cực hiếm của hàm giao động tại những điểm nút của mỗi phần tử, nhờ đó hàm xấp xỉ trọn vẹn được xác minh trên mỗi một trong những phần tử.

Nghiên cứu vãn hoặc phân tích hiện tượng kỳ lạ với FEM thường xuyên được điện thoại tư vấn là phân tích bộ phận hữu hạn (FEA).

1.1/ lịch sử vẻ vang ra đời cùng phát triển

Phương pháp bộ phận hữu hạn bắt đầu từ sự quan trọng phải xử lý các bài toán phức hợp về lý thuyết lũ hồi, so với kết cấu trong tạo và kỹ thuật mặt hàng không. Nó được bắt đầu và phát triển bởi A. Hrennikoff <4> với R. Courant <5> vào đầu những năm 1940. Một nhà đi đầu khác là Ioannis Argyris. Ở Liên Xô, sự thành lập của ứng dụng thực tế của phương pháp này thường được nhắc đến với tên của Leonard Oganesyan. <6> Ở Trung Quốc, vào trong thời điểm 1950 cùng đầu trong thời điểm 1960, dựa trên đo lường các dự án công trình đập, K. Feng đã khuyến cáo một phương pháp số có hệ thống để giải các phương trình vi phân từng phần. Phương thức này được hotline là phương pháp sai phân hữu hạn dựa vào nguyên tắc trở nên đổi, đó là 1 phát minh chủ quyền khác của phương pháp phần tử hữu hạn. Tuy vậy các phương pháp tiếp cận được áp dụng bởi đầy đủ người đi đầu này là khác nhau, họ đều có chung một quan liêu điểm: phân chia lưới của một miền liên tục thành một tập hợp các tên miền con rời rạc, hay được điện thoại tư vấn là những phần tử.

Hrennikoff rời rộc rạc hóa miền liên tục bằng phương pháp sử dụng lưới tương tự, trong những khi Courant chia lưới tam giác cho cách giải thứ hai của phương trình vi phân từng phần (PDEs) nó được tạo ra từ bài toán xoắn của một hình trụ. Đóng góp của Courant là là 1 trong bước tiến, từ tác dụng trước đó cho các PDE được phạt triên vày Rayleigh, Ritz cùng Galerkin.

Phương pháp bộ phận hữu hạn xác nhận phát triển một trong những năm 1960 với 1970 vày sự không ngừng mở rộng của JH Argyris với đồng nghiệp tại Đại học tập Stuttgart, RW Clough với đồng nghiệp tại UC Berkeley, OC Zienkiewicz với đồng nghiệp Ernest Hinton, Bruce Irons và những người khác tại Đại học Swansea, Philippe G. Ciarlet trên Đại học tập Paris 6 với Richard Gallagher cùng với những đồng nghiệp trên Đại học Cornell. Các sự sáng tạo mới đang được gửi ra một trong những năm này với sự có sẵn của những phần mềm mở bao gồm gái trị. NASA tài trợ phiên bạn dạng gốc của NASTRAN, UC Berkeley thực hiện Chương trình thành phần hữu hạn SAP IV một phương pháp rộng rãi. Tại mãng cầu Uy, Det Norske Veritas (nay là DNV GL) đã cải cách và phát triển Sesam vào thời điểm năm 1969 để áp dụng trong so sánh tàu thủy. Một các đại lý toán học chặt chẽ cho phương pháp thành phần hữu hạn được hỗ trợ vào năm 1973 bằng việc xuất phiên bản Strang cùng Fix. Phương thức này đã được khái quát hóa để quy mô hóa lượng lớn phương pháp vật lý trong không ít ngành kỹ thuật khác nhau, ví như điện từ, tải nhiệt và hễ lực học hóa học lỏng.

2/ Ứng dụng

Một loạt những chuyên ngành thuộc nghành nghề dịch vụ kĩ thuật cơ khí (như ngành hàng hông, cơ khí, ô tô,..) thường áp dụng FEM tích đúng theo trong xây dựng và cách tân và phát triển sản phẩm. Một trong những phần mượt FEM hiện nay đại bao gồm các thành phần ví dụ như môi trường thao tác làm việc nhiệt, năng lượng điện từ, chất lỏng và cấu trúc. Vào một mô phỏng cấu trúc, FEM giúp rất nhiều trong việc tạo thành độ cứng với ứng suất và cũng tương tự trong bài toán giảm thiểu trọng lượng, vật liệu và đưa ra phí.

*

FEM có thể chấp nhận được hình dung cụ thể về các cấu tạo uốn cong hoặc xoắn, chỉ ra sự phân bố ứng suất và chuyển vị. ứng dụng FEM cung cấp một loạt những tùy lựa chọn mô phỏng để kiểm soát và điều hành sự tinh vi của cả quy mô hóa cùng phân tích của một hệ thống. Tương tự, mức độ mong ước về độ bao gồm xác cần thiết và những yêu mong về thời gian đo lường và tính toán liên quan rất có thể được làm chủ đồng thời nhằm giải quyết hầu hết các áp dụng kỹ thuật. FEM được cho phép toàn bộ các xây đắp được xây dựng, tinh luyện và về tối ưu hóa trước khi xây đắp được sản xuất.

FEM đã nâng cấp đáng kể các tiêu chuẩn thiết kế kĩ thuật và phương pháp, thừa trình thi công trong nhiều ứng dụng của công nghiệp. Làm bớt đáng nhắc thời gian để đưa một sản phẩm từ quan niệm vào sản xuất. Bắt lại tiện ích khi thực hiện FEM gồm độ chính xác cao, nắm rõ các thông số kiến tạo quan trọng, tạo mẫu ảo, không nhiều tốn phần cứng, chu trình thiết kế nhanh hơn, ít tốn yếu hơn, tăng năng suất với doanh thu.

3/ các khái niệm cơ bản

Chia nhỏ tuổi những miền thường xuyên thành phần lớn miền nhỏ rời rộc rạc có một trong những ưu điểm:

Biểu diễn đúng đắn hình học tập phức tạpBao hàm những thuộc tính vật tư không giống như nhauDễ dàng biểu diễn phương án cụ thểGhi lại phản ứng cục bộ

Một công việc điển hình trong phương pháp này bao gồm phân chia miền của sự việc thành một tập hợp các tên miền phụ, với từng tên miền phụ được trình diễn bằng một tập hợp các phương trình thành phần cho việc gốc, tiếp nối (2) hệ thống kết hợp lại tất cả các phương trình thành phần vào một hệ phương trình đường tính được cho phép tính cuối cùng. Hệ phương trình tuyến tính đã hiểu phương pháp giải, và rất có thể được giám sát từ các giá trị thuở đầu của vấn đề gốc để có được một câu vấn đáp bằng số.

Trong bước trước tiên ở trên, những phương trình thành phần là các phương trình đơn giản dễ dàng mà dao động so với phương trình phức tạp ban đầu được nghiên cứu, trong những số ấy các phương trình ban sơ thường là phương trình vi phân từng phần (PDE). Để lý giải sự xê dịch đó, phương pháp phần tử hữu hạn (FEM) hay được trình làng như một ngôi trường hợp đặc biệt quan trọng của phương thức Galerkin. Quá trình này trong ngôn ngữ toán học tập là để tạo một tích phân của tích số phía bên trong của số dư cùng hàm trọng số và thiết lập cấu hình tích phân bằng 0. Nói một cách đối chọi giản, nó là một phương pháp giảm thiểu sai số xấp xỉ bằng cách gắn các hàm xem sét vào PDE. Phần còn sót lại là lỗi do các hàm test nghiệm tạo ra, và những hàm trọng số là các hàm dao động đa thức dự tính số dư. Thừa trình sa thải tất cả các dẫn xuất không khí từ PDE, vì vậy xấp xỉ PDE toàn thể với:

Một tập hợp những phương trình đại số cho các vấn đề trạng thái ổn định địnhMột tập hợp các phương trình vi phân thông thường cho những vấn đề nhất thời

Các phương trình này là các phương trình phần tử. Bọn chúng là tuyến đường tính ví như PDE cơ bản là con đường tính và ngược lại. Những phương trình đại số phân phát sinh trong số bài toán trạng thái bất biến được giải bằng cách thức đại số con đường tính số, trong khi các phương trình vi phân thường xuyên phát sinh trong số vấn đề trong thời điểm tạm thời được xử lý bằng tích phân số bằng các kỹ thuật tiêu chuẩn như cách thức Euler hoặc phương thức Runge-Kutta.

Trong bước (2) ngơi nghỉ trên, một hệ phương trình tuyến đường tính được tạo nên từ những phương trình phần tử thông qua việc biến đổi các tọa độ từ các nút toàn bộ của các tên miền phụ sang những nút tổng thể của miền. Sự chuyển đổi không gian này bao gồm các điều chỉnh lý thuyết thích phù hợp như được vận dụng liên quan mang đến hệ tọa độ tham chiếu. Quá trình này thường được thực hiện bởi phần mềm FEM bằng cách sử dụng dữ liệu tọa độ được tạo thành từ những tên miền phụ.

FEM được làm rõ nhất trường đoản cú ứng dụng thực tế của nó, được call là phân tích phần tử hữu hạn (FEA). FEA được áp dụng trong kỹ thuật như là 1 trong công cụ giám sát để thực hiện phân tích kỹ thuật. Nó bao gồm việc sử dụng kỹ thuật chế tạo lưới để phân loại một miền tinh vi thành các phần tử nhỏ, cũng giống như việc sử dụng chương trình phần mềm được mã hóa bằng thuật toán FEM. Khi vận dụng FEA, vấn đề phức tạp thường là 1 trong những hệ trang bị lý với cơ sở phụ thuộc vào phương trình chùm Euler-Bernoulli, phương trình nhiệt, hoặc phương trình Navier-Stokes trình bày trong cả nhị phương trình tích phân hoặc PDE, trong lúc chia bé dại phần tử của vấn đề phức tạp thay mặt cho những khu vực khác nhau trong khối hệ thống vật lý.

FEM là lựa chọn tốt để phân tích những bài toán trên những miền phức hợp (như ô tô, con đường ống dẫn dầu,…), lúc miền biến đổi (như vào một phản nghịch ứng tinh thần với biên ráng đổi), lúc độ đúng mực kì vọng thay đổi trên toàn thể miền hoặc khi giải pháp thiếu độ mịn. Mô rộp FEA hỗ trợ một mối cung cấp tài nguyên có giá trị lúc chúng loại bỏ trường hợp tạo nên và demo nghiệm các mẫu test cứng mang lại các trường hợp độ chân thực cao không giống nhau. Ví dụ, vào một mô phỏng tai nạn thương tâm ở phía trước rất có thể tăng độ đúng chuẩn dự đoán trong các khu vực “quan trọng” như khía cạnh trước của xe và sút nó sinh sống phía sau của chính nó (do đó làm cho giảm ngân sách chi tiêu của mô phỏng). Một ví dụ khác là áp dụng trong dự báo thời tiết, nơi quan trọng đặc biệt hơn để sở hữu những dự đoán chính xác về việc cải tiến và phát triển các hiện tượng lạ phi tuyến cao (chẳng hạn như lốc xoáy nhiệt đới trong khí quyển, hoặc xoáy vào đại dương) thay bởi vì các khu vực tương đối yên ổn tĩnh.

4/ đàm đạo khoa học

4.1/ kết cấu của các phương pháp thành phần hữu hạn

Phương pháp phần tử hữu hạn là phương pháp số cho lời giải xấp xỉ của những bài toán vào toán học, tức là thường được tuyên bố một cách có hệ thống để nêu đúng đắn tình trạng của một số trong những khía cạnh trong thực tiễn của đồ dùng lý.

Một phương pháp bộ phận hữu hạn được đặc trưng bởi một công thức biến đổi, một sự rời rộc hóa, hoặc những thuật toán chiến thuật và những quy trình hậu xử lý.

Ví dụ cho công thức thay đổi là phương thức Galerkin, phương thức Galerkin gián đoạn, phương pháp hỗn hợp, …

Sự rời rốc hóa được định nghĩa bao gồm một tập hợp quá trình được xác định cụ thể gồm:

Tạo ra các bộ phận hữu hạnĐịnh nghĩa hàm các đại lý trên các bộ phận tham chiếu (hàm hình dạng)Ánh xạ tham chiếu các bộ phận lên lưới

Ví dụ về việc rời rốc hóa là h-version, p-version, hp-version, x-FEM, đối chiếu đẳng hình học,…Mỗi phương thức rời rạc hóa đều sở hữu một số tiện lợi và bất lợi. Tiêu chuẩn chỉnh hợp lí trong bài toán lựa chọn phương pháp rời rạc hóa là để đã có được hiệu suất về tối ưu đến tập phù hợp rộng nhất của các quy mô trong một mô hình cụ thể.

Có hai các loại thuật toán giải pháp rộng:

Giải quyết trực tiếpLặp đi lặp lại

Các thuật toán này có thiết kế để khai thác ma trận thưa phụ thuộc vào vào sự lựa chọn của công thức biến đổi và sự rời rốc hóa.

Thủ tục sau xử ký được thiết kế theo phong cách để trích xuất dữ liệu quan trọng từ giải pháp thành phần hữu hạn, Để đáp ứng yêu cầu của vấn đề xác minh sự đúng mực của giải pháp, các nhà xử lý nên phải hỗ trợ một mong lỗi chuẩn về phương diện vấn đề đang rất được quan tâm. Khi những lỗi xấp xỉ to hơn những gì được nhìn nhận là đồng ý được thì vấn đề lọc nên được biến hóa bằng quá trình thích nghi auto hoặc theo ý ở trong nhà phân tích. Có một số bộ xử lý rất kết quả cung cung cấp cho phương thức siêu hội tụ.

4.2/ các vấn đề minh họa P1 cùng P2

Minh họa việc áp dụng PPPTHH từ nhì ví dụ mà phương thức chung rất có thể là ngoại suy. Xem như người đọc đã quen thuộc với đại số tuyến tính:

P­1 là câu hỏi một chiều

Sử dụng việc một chiều, trên đây, hàm f được xác định bởi u và u một hàm ẩn của x, u’’ là đạo hàm cung cấp 2 của u theo x

P­2 là việc hai chiều

Miền Ω là 1 miền đối chọi liên mở trong phương diện phẳng (x,y), gồm biên ∂Ω vô cùng “đẹp” (ví dụ: một nhiều tạp trơn tru hoặc một đa giác), displaystyle u_xxuxx cùng uyy displaystyle u_yy là đạo hàm riêng trung học cơ sở theo biến đổi x với y.

Ở lấy một ví dụ P1, rất có thể giải trực tiếp bằng cách lấy nguyên hàm. Mặc dù nhiên, phương pháp này chỉ triển khai được trong không khí một chiều và thiết yếu giải được trong không gian có hơn hai chiều hoặc trong vấn đề u + u’’ = f. Bởi vì lý vì này mà họ sẽ cải cách và phát triển phát triển FEM mang đến trường hòa hợp P1 cùng phác họa tổng thể của FEM cho trường phù hợp P2.

Lời giải có hai bước, nó phản ánh hai bước đa số phải tiến hành để giải một việc biên bằng FEM. Ở những bước đầu tiên tiên, bọn họ sẽ trình diễn lại bài toán biên vào dạng ngay gần đúng của chính nó hoặc dạng trở nên phân. Siêu ít hoặc không có máy tính được dùng để thực hiện cách này, việc này được làm thủ công bằng tay ở bên trên giấy. Cách thứ nhì là rời rạc hóa, dạng khoảng được rời rộc rạc trong một không gian hữu hạn chiều. Sau bước thứ nhì này, bọn họ sẽ bao gồm biểu thức ví dụ cho toàn bộ bài toán nhưng giải thuật của vấn đề trong không khí hữu hạn chiều tuyến tính chỉ là lời giải gần đúng của vấn đề biên. Câu hỏi trong không khí hữu hạn chiều này sau đó được giải bằng máy tính.

4.3/ công thức yếu 

Bước đầu tiên là thay đổi P1 và P2 thành công thức yếu tương tự của chúng.

Công thức yếu đuối của P1

Nếu u giải P1 thì đối với ngẫu nhiên hàm trơn tru v nào thỏa mãn điều kiện đưa vị, v=0 lúc x=0 với x=1, ta có:

Ngược lại, nếu như u cùng với u(0)=u(1)=0 thì vừa lòng (1) mang đến hàm trơn v(x) sau đó ta hoàn toàn có thể thấy là u sẽ giải được P1. Thử dễ dàng hơn đối với hai lần hàm khả vi u (định lí giá trị trung bình), nhưng mà cũng hoàn toàn có thể được chứng tỏ theo phương phân bố.

Định nghĩa một hàm mới bằng phương pháp sử dụng tích vừa lòng theo các phần ở bên tay đề xuất của (1):

Với v(0)=v(1)=0

Công thức yếu ớt của P2

Nếu lấy tích phân từng phần bằng công thức Green, ta rất có thể giải được P2 bởi u, nếu có mang cho bất kỳ v

Trong đó, được có mang là gradient với “.” là vết chấm trong phương diện phẳng hai chiều. Một lượt nữa hoàn toàn có thể quay về làm cho tích số trên không khí thích phù hợp của hàm vi phân một đợt của bởi không trên . Bọn họ giả định rằng . đại dương diễn được sự tồn tại và tính độc nhất vô nhị của giải pháp,

4.3/ Sự rời rạc hóa

P1 và P2 đã sẵn sàng chuẩn bị để được rõ ràng hóa, dẫn mang đến một bài toán phụ phổ biến (3). Ý tưởng cơ phiên bản là thay thế bài toán con đường tính:

Tìm sao cho

Với một phiên bản hữu hạn chiều:

Tìm sao cho

trong đó V là một không khí con hữu hạn chiều của . Có tương đối nhiều sự lựa chọn có thể cho V (một kĩ năng dẫn đến phương pháp quang phổ). Mặc dù nhiên, đối với phương thức thành phần hữu hạn, họ lấy V để là một không gian của các hàm đa thức từng phần.

Cho việc P1

Lấy khoảng(0,1), lựa chọn giá trị n của x với: và quan niệm V bằng: v liên tục, là tuyến tính, mang lại k=0,…n,a

Trong đó, ta tư tưởng x0=0 với xn+1=1. Quan liêu sát những hàm trong V không khác biệt theo tư tưởng cơ phiên bản của phép tính. Thật vậy, nếu như thì đạo hàm không được xác minh tại bất kể điểm nào ngoại trừ x=xk, k=1,…n. Mặc dù nhiên, đạo hàm mãi sau ở phần lớn giá trị không giống của x và rất có thể sử dụng đạo hàm này cho mục đích tích phân theo từng phần.

Cho việc P2

Chúng ta cần V là một trong những tập những hàm của . Vào hình mặt phải, chúng tôi đã minh họa một hình tam giác của một vùng nhiều giác 15 trong phương diện phẳng (bên dưới), với một hàm đường tính từng mẩu (trên, màu) của nhiều giác này là đường tính trên từng tam giác của phép đạc tam giác; không khí V sẽ bao hàm các hàm tuyến tính trên từng tam giác của phép đạc tam giác sẽ chọn.

Hy vọng rằng lúc lưới tam giác dưới trở buộc phải mịn hơn thì lời giải của việc rời rạc theo ý nghĩa nào nó sẽ dao động với lời giải của việc giá trị biên thuở đầu P2.Để đo độ mịn của lưới này, phép đạc tam giác được lập chỉ mục vì một tham số có mức giá trị thực với cái giá trị khôn cùng nhỏ. Tham số này sẽ tương quan đến size của tam giác lớn số 1 hoặc trung bình trong tam giác. Lúc ta chỉnh phép đạc tam giác , không gian của các hàm tuyến đường tính liên kết V phải chuyển đổi theo h. Vì chưng lí bởi vì này, thường phát âm Vh thay bởi V vào tài liệu.

Xem thêm: Boss Trên Facebook Là Gì Trên Facebook, Boss La Gì Trên Facebook

Chọn một cơ sở

Để ngừng việc rời rộc rạc hóa, họ phải chọn 1 cơ sở của V. Vào trường phù hợp một chiều, cho mỗi điểm kiểm soát và điều hành xk, chúng tôi sẽ lựa chọn hàm tuyến đường tính từng phần bà xã trong V của cực hiếm 1 trên xk với 0 tại đa số xj, j không giống k

Cho k=1,…n; đại lý này là một hàm tăng. Đối cùng với trường thích hợp hai chiều, chọn lại một hàm cơ sở vợ trên từng đỉnh xk của tam giác hai chiều . Hàm vợ là hàm đơn giản và dễ dàng của V có mức giá trị là một trong những tại xk với 0 tại từng xj,j khác k.

Tùy thuộc vào fan dùng, từ “phần tử” trong “phương thức bộ phận hữu hạn” nói đến các tam giác vào miền, hàm cơ phiên bản tuyến tính từng phần hoặc cả hai. Bởi vì vậy, ví dụ, một fan dùng quan tâm đến các nghành nghề dịch vụ mặt cong hoàn toàn có thể thay thế các hình tam giác bằng hình tròn, và bởi vì đó hoàn toàn có thể mô tả những yếu tố như là curvilinear. Mặt khác, một trong những tác giả thay thế sửa chữa “tuyến tính từng phần ” bởi “bậc nhị từng phần” hoặc thậm chí là “đa thức từng phần”. Người dùng sau đó nói cách khác “phần tử bậc cao hơn” thay do “đa thức bậc cao”. Phương thức bộ phận hữu hạn không xẩy ra giới hạn vào tam giác (hoặc tứ diện trong 3-d, hoặc đơn vị bậc cao hơn trong không gian đa chiều), nhưng rất có thể được khái niệm trên các tên miền phụ tứ giác (lục giác, lăng kính, hoặc kim trường đoản cú tháp trong 3-d, vv). Các hình dạng bậc cao hơn nữa (các thành phần đường cong) hoàn toàn có thể được xác minh bằng những hình đa thức và thậm chí còn không nhiều thức (ví dụ như hình elip hoặc hình tròn).

Ví dụ về các phương thức sử dụng những hàm cơ sở đa thức bậc cao hơn nữa là hp-FEM với spectral FEM.

Các triển khai nâng cấp hơn (phương pháp phần tử hữu hạn ưa thích nghi) sử dụng một phương thức để đánh giá unique của các kết quả (dựa trên lý thuyết ước lượng lỗi) cùng sửa thay đổi lưới trong giải pháp nhằm đạt được phương án gần đúng trong một vài giới hạn từ giải pháp ‘chính xác’ vấn đề. Lưới mê thích ứng hoàn toàn có thể sử dụng các kỹ thuật khác nhau, thịnh hành nhất là:

Các nút chuyển động (r-adaptivity)Tinh chế (và không tinh chế) các phần tử (h-adaptivity)Thay đổi trang bị tự của những hàm đại lý (p-adaptivity)Sự phối hợp của những tính năng trên (hp-adaptivity).Một vài hỗ trợ cơ sở

Ưu điểm chính của sự việc lựa chọn cơ sở này là những tích bên trong

Sẽ bởi 0 với hầu như j, k. Ma trận chứa (vj,vk) vào (j,k) được điện thoại tư vấn là ma trận Gramian. Vào trường vừa lòng 1 chiều, vợ được xác minh trong khoảng . Sau đây, hàm rước tích phân của (vj,vk) với (vj,vk) là hệt nhau nhau khi với đều bằng 0.

Biểu mẫu của câu hỏi ma trận

Nếu ta viết và khi ấy bài toán biết v(x)=vj(x) cho j=1,…,n thay đổi cho j=1,…,n. Nếu chúng ta biểu diễn bằng u và f là những vector cột (u1,…un)t và (f1,…,fn)t cùng nếu ta mang đến L=(Lij) cùng M=(Mij) là ma trận gồm mục: cùng . Sau đó: -Lu=Mf. Nó ko thực sự cần thiết để cho rằng . Đối với hàm bao quát f(x) của câu hỏi với v(x)=vj(x) với j=1,…,n, trở nên dễ dàng hơn vị không cần sử dụng ma trận M: -Lu=b cùng với b=(b1,…,bn)t và , j=1,…,n.

Như bọn họ đã đàm đạo từ trước, đa số các mục của L với M là bằng 0 do hàm cơ sở vk có vùng cung cấp nhỏ. Bởi vì vậy hiện thời chúng ta đề xuất giải một hê tuyến tính trong những lúc không biết u phần nhiều mục của ma trận L, ta bắt buộc nghịch đảo tiếp đến cho bằng 0.

Các ma trận này được điện thoại tư vấn là ma trận thưa, và có những cách giải kết quả cho các bài toán do vậy (hiệu trái hơn các so cùng với nghịch đảo ma trận.) ngoại trừ ra, L là đối xứng và xác minh dương, do đó, một phương pháp như phương pháp gradient phối hợp được ưa chuộng. Đối với các bài toán không quá lớn, LU decompositions cùng Cholesky decompositions vẫn hoạt động tốt. Ví dụ, toán tử vết gạch chéo ngược của MATLAB (trong đó thực hiện LU decompositions và Cholesky decompositions, với các phương thức hệ số hóa khác) hoàn toàn có thể đủ cho những mắt lưới với một trăm nghìn đỉnh.

Ma trận L thường xuyên được hotline là ma trận độ cứng, trong lúc ma trận M được call là ma trận khối lượng.

Dạng thông thường của phương pháp phần tử hữu hạn

Nói tầm thường , phương pháp bộ phận hữu hạn được đặc trưng bằng hai cách sau:

+ chọn 1 dạng lưới mang đến . Lưới bao gồm hình tam giác, mà lại cũng có thể sử dụng hình vuông hoặc nhiều giác cong.

+ Sau đó lựa chọn 1 hàm dạng cơ bản. Vào cuộc thảo luận, chúng ta đã áp dụng hàm từng phần tuyến đường tính cơ bản, tuy nhiên hàm các đại lý đa thức cũng khá được sử dụng khôn cùng phổ biến.

Một vấn đề khác là việc mịn khi chia lưới của hàm đại lý đa thức. Đối với câu hỏi về cực hiếm biên của eliptic bậc hai, hàm các đại lý đa thức chỉ 1-1 thuần là thỏa mãn nhu cầu vừa đầy đủ (tức là những đạo hàm không liên tục).Với phương trình vi phân từng phần bậc hai, cần phải sử dụng một hàm cửa hàng mịn hơn. Ví dụ cho một bài xích toán khác như uxxxx+uyyyy=f, có thể sử dụng hàm cơ sở bậc hai là C1.

5/ những loại phương pháp bộ phận hữu hạn

5.1/ AEM

Phương pháp thành phần ứng dụng(AEM) phối hợp các tính năng của tất cả FEM cùng phướng pháp rời rộc hóa phần tử(DEM).

*

5.2/ Phương pháp phần tử hữu hạn tổng quát

Phương pháp phần tử hữu hạn tổng quát(GFEM) sử dụng không gian quỹ tích gồm gồm của hàm số, không cần thiết sử dụng đa thức, cho nên vì vậy phản ánh tin tức có sẵn về chiến thuật chưa biết vị đó bảo đảm an toàn xấp xỉ cục bộ tốt. Sau đó một thành phần miền được sử dụng để lien kết các không khí này với nhau chế tác thành khoogn gian nhỏ gần đúng. Tác dụng của GFEM sẽ được bộc lộ khi áp dụng cho những bài toán có đường biên phức tạp, những bài toán với quy mô bé dại và các bài toán với những lớp trẻ ranh giới.

5.3/ Phương pháp thành phần hữu hạn láo lếu hợp

Phương pháp phần tử hữu hạn láo hợp là một trong những loại phương pháp bộ phận hữu hạn trong số ấy các phát triển thành phụ độc lập được chế tạo dưới dạng các biến nút trong quá trình giải bài toán của một phương trình vi phân từng phần.

5.4/ hp-FEM

Phương pháp hp-FEM kết hợp năng động các phần tử với kích thước biến số h với bậc của đa thức p để đạt được tốc độ hội tụ theo cung cấp số mũ rất là nhanh.

5.5/ hpk-FEM

Phương pháp hpk-FEM kết hợp linh động, các thành phần có form size biến số h, bậc đa thức của các xấp xỉ toàn bộ p cùng tính nhiều dạng cục bộ của các xấp xỉ toàn bộ (k-1) để đạt được vận tốc hội tụ xuất sắc nhất

5.6/ XFEM

Phương pháp thành phần hữu hạn không ngừng mở rộng (XFEM) là một trong bước tiến mới dựa trên phương pháp bộ phận hữu hạn tổng quát (GFEM) với hàm phân bố thống tuyệt nhất (PUM). Nó mở rộng phương pháp bộ phận hữu hạn cổ điển bằng cách làm rộng ko gian giải pháp cho các giải pháp cho các phương trình vi phân với các hàm không liên tục. Các phương thức thành phần hữu hạn không ngừng mở rộng làm giàu không khí xấp xỉ để nó rất có thể tái chế tác một cách thoải mái và tự nhiên tính năng đầy thử thách liên quan tiền đến vụ việc quan tâm: sự gián đoạn, kỳ dị, lớp biên, v.v. Kĩ năng vào không gian gian ngay sát đúng tất cả thể cải thiện đáng kể tốc độ hội tụ và độ thiết yếu xác. Rộng nữa, xử lý các vấn đề với sự cách trở với XFEMs chống cản việc lưới và làm lại các mặt phẳng gián đoạn, do đó làm giảm chi phí tính toán và các lỗi chiếu tương quan đến các phương pháp bộ phận hữu hạn thông thường, với chi tiêu hạn chế sự đứt quãng đối với các cạnh lưới.

Một số phân tích thực hiện kỹ thuật này với các mức độ khác nhau: GetFEM++2, xfem++3 và open fem ++

XFEM đã và đang được triển khai trong những chương trình như Altair Radioss, ASTER, Morfeo cùng Abaqus. Nó ngày dần được gật đầu bởi các bộ phận phần tử hữu hạn thương mại dịch vụ khác, với 1 vài bổ sung cập nhật và những triển khai lõi thực tiễn có sẵn (ANSYS, SAMCEF, OOFELIE, vv).

5.7/ Phương pháp thành phần hữu hạn phần trăm đường biên ( SBFEM )

Ra đời bởi tuy nhiên và Wolf vào năm 1997. Là giữa những đóng góp có tính năng to lớn trong lĩnh vực phân tích số liệu của cơ học phá hủy. Nó là một phương pháp tích phân cơ bản, có phương án kết hòa hợp các điểm mạnh của cả các công thức cùng quy trình phần tử hữu hạn, cùng sự rời rạc hóa. Tuy nhiên nó ko yêu cầu giải mã vi phân cơ bản.

5.8/ S-FEM

Phương pháp phần tử hữu hạn S-FEM, Smoothed, là một trong lớp cụ thể của các thuật toán mô bỏng số nhằm mô phỏng các hiện tượng thứ lý. Nó được phạt triển bằng cách kết hợp những phương thức chia lưới thoải mái với phương thức bộ phận hữu hạn.

5.9/ Phương pháp phần tử quang phổ ( SEM )

Phương pháp thành phần quang phổ phối kết hợp tính linh hoạt hình học của các thành phần hữu hạn với độ đúng mực cấp tính của các phương thức phổ. Cách thức quang phổ là giải pháp gần đúng của các phương trình từng phần yếu ớt hình thành dựa vào nội suy bậc cao Lagragian và chỉ còn được áp dụng với những quy tắc bậc hai nhất định.

5.10/ liên kết với phương pháp discretisation gradient

Một số loại phương pháp phần tử hữu hạn (phù hợp, ko phù hợp, các phương thức thành phần hữu hạn láo hợp) là những trường hợp rõ ràng của cách tiến hành giải phóng gradient (GDM). Vày đó những đặc tính hội tụ của GDM, được cấu hình thiết lập cho một loạt những vấn đề (các vụ việc elliptic đường tính cùng phi tuyến đường tính, những vấn đề parabolic tuyến tính, phi con đường và thoái hóa), giữ cho các phương pháp phần tử hữu hạn đặc biệt này.

5.11/ đối chiếu với cách thức sai phân hữu hạn:

Phương pháp không nên phân hữu hạn (FDM) là một cách sửa chữa thay thế xấp xỉ các chiến thuật của PDE. Sự biệt lập giữa FEM cùng FDM là:

+ Tính năng thu hút nhất của FEM là năng lực xử lý hình học tinh vi (và biên) một bí quyết dễ dàng. Trong lúc đó FDM căn bản chỉ áp dụng được trong các hình chữ nhật đối kháng giản, việc xử lý các bài toán hình học trong FEM về mặt kim chỉ nan là dễ dàng và đơn giản hơn.

+ FDM thường không được áp dụng cho hình học CAD không liên tục nhưng thường là các mô hình hình chữ nhật hoặc quy mô khối.

+ FDM rất giản đơn làm

+ rất có thể xem FDM là 1 trường vừa lòng gần đúng của FEM. Hầu hết bước trước tiên của FDM như nhau FEM với phương trình Poisson, nếu bài toán rời rộc rạc hóa bởi lưới hình chữ nhật với từng hình chữ nhật tạo thành hai tam giác.

+ có rất nhiều lý bởi vì để xem xét căn cơ toán học của thành phần hữu hạn xấp xỉ hợp lý và phải chăng nhiều hơn, ví dụ, bởi vì chất lượng của giao động giữa các điểm lưới là yếu trong FDM.

+ chất lượng của một FEM xấp xỉ thường cao hơn nữa so với FDM xấp xỉ tương ứng, nhưng vấn đề đó lại dựa vào vào số hạng đầu của việc và một số trường vừa lòng cho công dụng ngược lại.

Nói chung, FEM là phương pháp được gạn lọc trong tất cả các loại phân tích trong cơ học tập kết cấu (ví dụ xử lý biến dạng với ứng suất trong đồ gia dụng rắn hoặc hễ lực học tập cấu trúc) trong những lúc động lực học chất lỏng (CFD) có xu hướng sử dụng FDM hoặc các phương thức khác như phương thức khối lượng hữu hạn ( FVM). Các vấn đề CFD thường đòi hỏi phải giải câu hỏi thành một trong những lượng lớn những ô / điểm lưới (hàng triệu lần trở lên), vì đó ngân sách chi tiêu của giải pháp ưu tiên đơn giản và dễ dàng hơn, giao động bậc tốt hơn trong mỗi ô. Điều này quan trọng đặc biệt đúng so với các vụ việc ‘lưu lượng bên ngoài’, như luồng không khí bao phủ xe tương đối hoặc đồ vật bay, hoặc mô phỏng thời tiết.